Скажите, пожалуйста, можно ли проехать в Адлер из Батуми через Абхазию?

Вроде не пускают грузины.

Нет нельзя. Хотя мне известен случай когда человек проехал. Но ему очень, очень было нужно. При этом а Грузии его информировали что больше он никогда не сможет приехать туда. Вернее сможет, но тогда будет суд, штраф и срок за незаконное пересечение границы. Так что если в Грузию не планируете и не опасаетесь уголовного преследования в странах с которыми у Грузии есть соответствующие договоры, то можете попробовать.

Нет. Только местные жители приграничных городов имеют специальное разрешение на пересечение по реке Ингур.