Подскажите в каком районе лучше снимать квартиру?

для Вас лучше, можете знать только Вы. У каждого в приоритете свои параметры. Если есть привязка к офису, школе, садику, можно первоначально отталкиваться от этого. В Новом Белграде например попроще с парковками, больше зеленых зон во дворах и две хороших набережных. В Старом городе (центр) сконцентрирована большая часть развлечений, кафе, баров. Многие выбирают Врачар. Близко к центру, хорошая инфраструктура, больше исторической архитектуры, чем в более поздних районах. Если хочется больше зелени и простора (в том числе рассматриваете дом), но не окраину города, то можно рассмотреть Дединье, Сеньяк, Баново Брдо.