Я так понимаю справка из аэропорта вылета дается на 5 дней. Т. е мы можем вылететь из Сочи в Стамбул, побыть там 2-3 дня и потом оттуда с той же справкой, не делая никаких новых документов, улететь в Атланту?

На сколько я знаю 5 дней действует справка из ветлечебницы, которую вы поменяете на сертификат в аэропорту. И вот уже с ним можно лететь в другие страны. Но в справке обязательно указываете маршрут следования, и если планируете возвращаться, это указать тоже. Тогда не нужно будет потом делать справки, чтобы вернуть животное.