Ночью прилетаем в новый аэропорт Стамбула, добраться возможно только такси? Или общественный транспорт ходит и ночью?

Havaist автобусы ходят.

Автобус ходит, но от остановки надо понимать сколько идти, мы в два ночи по Аксараю искали отель, много впечатлений получили

Вы бы ещё место указали, куда вам доехать нужно.

Два варианта - на HavaIst доезжаете до ближацшей остановки от вашего отеля, потом берёте такси и геолокацию ему покажите, а то он вас накатает на много или дожидаетесь 6 утра, там где вышли, находите обозначение метро, очень удобно на эскалатарах добираетесь до аппарата, покупаете проездную карту, стоит 50 лир + положите ещё 50-100 лир, дорога на одного человека 10 лир, и карта вам пригодится, ею можно пользоваться и в метро, и в автобусе, и в трамвае, и на пароме. Поездка около 40 минут, удобно. На конечной выйдете, Kütüphane. А там или пересядете через дорогу на другой трамвай, или автобус, или такси, но со своей геолокацией, минут 30 до Фатиха.