При прибывания на острове более чем 90 дней из 180 допустимых по шенгенской визе, могут возникнуть проблемы с получением визиторского внж? Если проще, то можно ли подавать на внж уже будучи нелегально на Кипре?

Нельзя, но можно. Пару дней для подачи прощают - но потом могут вспомнить. Лучше выехать / вернуться и подать без нарушений.

Я подавал через 21 день после завершения визы. Но это нарушение, которое может всплыть в будущем и так лучше не делать.