Подскажите пожалуйста, нужна ли зелёная карта для въезда машины в Казахстан?

Нет, не нужна Страховку делаете сразу после пересечения местную.

Нет. После пересечения границы рекомендую сразу купить страховку, хотя бы минимальную, там будут продавать в будках. Если есть возможность, лучше сделайте заранее, так будет дешевле.