Где снять можно квартиру в центре Тбилиси ? И Улица Абашидзе это центр ?

Это не центр, а улица в хорошем районе Ваке... если под центром вы имеете в виду исторический центр. Вот улица, а на курсоре либерти, где уже ближе к центру.