Подскажите, пожалуйста, корректное ли это утверждение: «после подачи заявления на ВНЖ можно больше не беспокоиться о том, что истечет 30-дневный безвыездного пребывания в Сербии».

Да, можно не визаранить, пока не дадут ВНЖ.

Да. В случае возникновения вопросов показываете бумагу из полиции, что у вас поданы документы. Но честно, ни разу не слышала, чтобы кто-то это спрашивал. БК достаточно.