Подскажите пожалуйста, мне в апреле нужно будет поехать из Еревана в Будапешт, билеты через Кипр. Запустят ли меня на территорию страны с 5-летним туристическим финским Шенгеном?

Да. Ну то есть, гарантий никаких нет, потому что даже с визой могут завернуть, если таможенникам не понравится, но мультишенген - достаточное основания для въезда на кипр, главное чтобы финляндия не аннулировала свои визы (прибалты, вроде, свои анулировали)