Подскажите, можно ли пройти КП в Тбилиси гражданину РФ?

Да, можно. Рекомендую вам поискать чат Россия --> СНГ --> Израиль. Они там как раз разбирают эти вопросы. Сейчас очередь на апрель примерно. Консул приезжает раз в 3 месяца вроде, местного консула в Грузии нет. Можно им позвонить, там очень приятная женщина помощница, всегда отвечает и всё подробно рассказывает.