По аспирантской визе (подозреваю, что это национальная) можно с мужем уехать? Везде разная информация. Где то пишут, что надо на аспир визу сразу вместе с семьей (мужем) подавать в консульство Германии, а где-то пишут, что нельзя.

Можно, но нужно обоснование средств к существованию для обоих - 11.208 евро в год на каждого (ваша или его зп, либо блоксчет, либо поручительство). Возможность подаваться вместе зависит от конкретного консульства (где-то это в принципе не предусмотрено). Лучше найти консульство, в котором можно подаваться вместе, так будет быстрее. В случае раздельной подачи люди до года могут ждать воссоединения.