Можно ли сразу подать документы на гражданство Аргентины, без DNI?

Можно.

Dni можно ждать как месяц, так и год и тд. нет сроков.

Мне сказали, что можно подать одновременно. Но без dni я так понимаю, что не получить гражданство.

В теории можно, на практике нет. И сроки сейчас скорее от 3 , в среднем 5-6, а бывает и дольше по дни. Большой наплыв, а во-вторых, делают специально, чтобы отсеивать тех, кто просто хочет паспорт.

Можно и на то, и на то с получения DNI ребёнка, но есть одно но: для получения гражданска нужно иметь подтверждённый доход в стране 3 месяца. Самый простой способ для этого: открыть местное ИП (монотрибуто) и платить взносы, после трёх месяцев уже подать на гражданство. Есть вероятность, что за эти 3 месяца вы успеете получить DNI на себя.