Попробовал «рекомендованный» свифт из Тинькоффа и у меня не получилось ни в рублях, ни в долларах. Евро-счета нет. Какие вообще российские банки могут отправить свифт в Альту?

Для начала нужно было почитать на сайте Тинькофф информацию о SWIFT переводах или уточнить в их поддержке. Они их не шлют в Сербию с марта. С момента введения санкций против их банка.