Я подал документы на карту побыту, но виза еще действует. Могу ли я выезжать до окончания визы в другие страны ЕС?

На границах между странами ЕС нет погранконтроля. Т. е. если у вас есть действующая виза, конечно вы можете по ней ездить в пределах ЕС.

Да, можете. Пока виза не истечет это легально.