Есть ли провайдеры в Батуми, которые дают интернет 200-500 мб/сек?

Скорее нет, чем да, у основных (магти/смлкнет) максимум 100, остальные (местечковые) скорее всего просто перепродают их трафик. В теории можно попробовать поискать среди местных, но я бы не рассчитывал на успех.