Подскажите, пожалуйста, чтобы оформить доверенность в Тбилиси, куда нужно обратиться и как долго это происходит?

К нотариусу, сразу или через день сделают.

Нотариальное заверение документов можно осуществить в Грузии в любом нотариальном бюро где есть переводчики. Например, напротив Дома Юстиции, а так же в других . Доверенности, выданные нотариусами, признаются по Минской конвенции в странах, которые ее подписали (Грузия, Россия входят туда, гуглите свою страну) Апостиль не обязателен. Но! Некоторые службы могут его требовать. Ставят в Доме Юстиции. Необходимо иметь текст, в таком формате, который требует Ваша страна! Нотариусы и переводчики все сделают (текст с вашего составят на грузинском и переведут на тот язык который Вам нужен) notary. ge/eng-3718-sanotaro-biuroebi - это официальный сайт, можете выбрать по месту жительства, позвонить и договориться заранее о приеме.