Насколько хорошо говорят сербы на английском? Если переезжать, можно ли обойтись только английским? Нужно ли сдавать экзамен на знание сербского для получения гражданства?

Средне, нет. Надо учить сербский.

Годик можно прожить на одном английском, сербы его знают больше и лучше нас в среднем. Кто не знал английского из моего опыта: проводник в поезде в Черногорию, регистраторша в медицинском центре, кассирша на вокзале, и это все. Решается, если заранее написать нужные фразы на сербском через переводчик. Знаю препода танцев, который даже учит сербов на английском много лет, организует вечеринки, не говоря по-сербски.

В среднем уровень английского в Сербии радикально лучше, чем в РФ. Молодые, вплоть до 40 лет почти все сносно говорят. Обходиться только английским можно совершенно спокойно.

Нет, но пока будете получать, сами выучите сербский

Сербский- очень родственный язык. Года обучения вполне хватит, чтобы его понимать с сносно разговаривать. Проще будет перейти на него. На английском не все понимают.