Скажите, надо выписаться из квартиры в РФ удаленно, на Кипре взял слот на оформление заявления, но нет с собой паспорта РФ.

Должно хватить. По идее, консул заверяет вашу подпись на заявлении, а не его содержание.

Внутренний паспорт не впишут, попробуйте умолить. С заграном тоже плохо. Выписаться можно по почте.