если муж с ребенком хотят приехать в Батуми из Украины, то нужно ли доверенность или разрешение какое то от меня для ребенка?

Если муж отец ребенка, то не нужно для Грузии. Для Украины на выезд уточняйте украинские правила. Для РФ, например, не нужно.

Нужно разрешение от родителя до 16 лет.