правильно поняла, что при аренде квартиры в Кыргызстане, нужно заплатить за первый месяц и оставить депозит в счет проживания за последний месяц ? Или еще что-то ?

Всё верно. лучше с собственниками иметь отношения, проверяйте тех. паспорт на кого зарегистрировано имущество и подписывайте договор найма.

Ну и как в Москве, ты вносишь депозит оплачиваешь первый месяц и договор.