Можно ли лететь на самолёте из Москвы в Бишкек по паспорту РФ?

Конечно можно.

Можно, но сохраняйте отрывной-посадочный талон до конца пребывания в КГ. Есть организации, где требуется доказать ваш въезд, дату.