девочке 10 лет, пересечь границу Абхазии , без родителей, но с бабушкой. Какие ей нужны тогда документы?

В российском паспорте никаких отметок не делают. Доверенность (согласие) на выезд ребёнка с бабушкой, дедушкой, тётей или дядей нужно, когда ребёнок едет без родителей, потребуется нотариально оформленное согласие.

Генеральная доверенность от родителей.