Скажите, пожалуйста, стоит ли переживать о своей визовой истории, если будет оверстей в Турции с оплатой штрафа, но без запрета на въезд? Нарушение визового режима как-то отображается в "общемировой системе"?

Если сами об этом не скажите, никуда данные не передадут.

При подаче на гражданство в Турции например, за счёт инвестиций, одно из условий: не должно быть визовых нарушений границ НИГДЕ. Читал об этом мельком и отложилось в памяти, но за достоверность не могу поручиться. По поводу других стран - у всех свои же законы.

Нет. Никакого "следа", кроме как в Турции не будет.