Подскажите, пожалуйста, если въехал в Казахстан в декабре, можно выехать, въехать снова и опять жить 3 месяца ?

Нет, визаран запретили. Вы можете находиться в стране в статусе туриста только 90 из 180 дней. Т. е. вам нужно будет выехать, и въехать вы сможете только через 3 месяца, если нет РВП.

Ваш случай попадает под условия «въезда до принятия новых правил» // и пока ничто не говорит, что выехав и снова въехав вам не дадут новых 90 дней.