Подскажите, если приехать в Улан-Батор на поезде, отметка же ставится в паспорте при пересечении границы?

А вы что на поезде не пересекаете границу что ли, что вам не ставят штамп, все точно так же как и при пересечении границы автотранспортом или пешком, процедура ни как не отличается.

Ставится.

Ну конечно ставится. Хоть пешком, хоть на велосипеде:))) граница есть граница.