Подскажите, если я гражданин РФ и имею право находиться без регистрации в Армении 180 дней, я правильно понимаю что после нового года этот счетчик сбросился и пошли новые 180 дней?

Насколько мне известно 1. Нет 2. Да.

На НГ не обнуляют Не обязательно на несколько дней в Грузию Можно просто сухопутную границу перейти, прости пару шагов по нейтральной зоне и вернуться обратно сразу. Это обнулит счётчик.