Подскажите, пожалуйста, можно ли как туристу в БА открыть счёт или ячейку какую-то, чтобы деньги положить, чтобы не таскать с собой по съёмным квартирам?

Как турист нет. Вам нужно как минимум Прекаря и ИНН. Если сумма большая, возникнут вопросы о происхождения а ещё наверное нужно будет какие-то налоги платить. Но это лучше обращайтесь к бухгалтеру.