Подскажите, пожалуйста, в Тбилиси мне выдали новый загранпаспорт, а старый аннулировали ( заканчивался в следующем месяце срок действия).

Да, обязательно. В тбс у меня как закончился местный внж едва ли не заблокировали. Карты работать будут, но в банке ничего сделать не сможете.