Мы прилетели 1го числа. Со 2го по 6-е числа живём в хостеле. Они сделали регистрацию. 6го рег закончится. 15 дней без регистрации пойдёт заново отчёт с 6.10?

Нет. С момента первой регистрации у вас не должно быть перерывов. Продлевать регистрацию день в день после окончания предыдущей. Правило 15 дней касается только срока пребывания с момента пересечения границы. Оно введено для удобства коротких визитов.