Подскажите, пожалуйста, нужно ли делать регистрацию жителю Андижана при аренде квартиры в Ташкенте, договор аренды на руках?

Вот так указано. То есть, похоже, вам надо с договором подойти к участковому или в центр госуслуг.

Тяжело что-то конкретное сказать, т.к. тут мало кто сталкивался с подобной проблемой.

Единственное, ваш арендодатель регистрировал ваш договор в налоговой? Если нет, то он может попасть на штраф от налоговой.

По хорошему нужно, но да как вам написали, если договора нет в налоговой, то хозяину будет штраф, а так если участковый придет и вас дома застанет, то тоже будет штраф без регистрации, обговорить с хозяином квартиры этот момент, что хотите сделать регистрацию к примеру