Подскажите, а пещеру в Новом Афоне можно посетить самостоятельно, не в составе экскурсионной группы, купив билеты в кассе?

Можно конечно.

Самостоятельно вы покупаете билет. Потом вас сажают в вагончик метро. А дальше уже передвигаетесь по пещере вместе со всем поездом. Как-то так...