При въезде в Турцию на своей машине поставили штамп в паспорт 29. 12. 2022.

Про штраф - верно. Информация от января 2023. Идите в таможню с документом о подачи внж и просите продлить. Летом продлевали по этой бумаге, а в январе уже нет. Но, попытаться можно. А вот по выезду история может получится не приятная. Если вы поедет на машине до получения ВНЖ и у вас будет оверстей (если ВНЖ не одобрен, а безвизовых дней нет), то Грузия конкретно вас может не пустить т. к. они будут считать вас потенциальным нарушителем визового режима.