Подскажите, пожалуйста, возможно ли находясь в Сербии где-то сделать апостиль на документы? К примеру, в русском консульстве.

Нет. апостиль он делает только в рф, только учреждении отвественном за апоситиль.

Все зависит от того что за документы. Например, на ру диплом невозможно сделать апостиль вообще нигде кроме РФ.