Существуют ли в Батуми банкоматы, которые примут доллары на внесение на счёт для негрузинской карточки?

Думаю таких в принципе не существует.

Никакой банкомат НЕ позволит вам пополнить наличкой карту НЕ этого банка. Исключение: если два банка заключили между собой какой-то договор о сотрудничестве, но такое никто не делает. Речь даже не о Грузии или грузинских банкоматах. Это в принципе так работает, то есть, наоборот, не работает.