Подскажите, сможет ли родственница получить за меня био ТЗ и лессе-пассе?

Да конечно , для получения ТЗ ей нужен ваш код что дали в МВД и ее ТЗ , для ТМ почтовая доверенность и ваш скан ТЗ ( временного )

Да, оставьте ей номер, который вам дали в МВД, почтальон отдаст ей. Но это если почтальон до вас дойдет. Может не ходить и сказать, что никого не было дома. В таком случае родственница сможет на почте забрать по доверенности. Доверенность загуглите и заранее заполните. Но бывает и так, что если на почте не забрали, то доки отправляют обратно в МВД и тут уже засада, из МВД вы сможете забрать только лично.