Подскажите, в батуми гражданам рф без гражданства Грузии, если заболел (страховку не делал), в какую нужно идти больницу, республиканскую?

Только скорая бесплатно, если вы об этом За остальное платить в любом случае.

В любую частную, просто страховка покрывает часть консультации/лечения, или полностью, в зависимости от компании и пакета.