Мы поедем по голубой карте, муж какое-то время (1-2мес) продолжит работать удаленно на РФ. Как правильно оформить страховку при въезде, и потом налоговый класс, чтобы потом не попасть на проблемы?

Налоговый класс - без разницы. Вам с доходом из вне по-любому писать декларацию в следующем году. Делайте "4", так проще. Со страховкой сложнее. Если его доход больше 450 евро в месяц (я надеюсь), то он не может пользоваться вашей GKV (т. н. Familienversicherung). Мужу нужно будет отдельно зарегистрироваться в GKV как "freiwillig Versicherter". Ему на глазок назначат тариф, а по окончанию года пересчитают, чтобы вышло 15% от дохода.

Если муж уволится в РФ и (какое-то время) будет безработным, нужно будет связаться с GKV и изменить дорогой тариф "freiwillig Versicherter" на бесплатный "Familienversicherung". Но есть нюанс. Если у вашего мужа есть еще какой-то доход, например от сдачи квартиры в Москве, и он превышает 450 евро в месяц. Тогда GKV его не отпустит в "Familienversicherung" и будет продолжать брать по 15% с дохода (минимум порядка 200 евро). Чтобы избавится от этого "налога", нужно устроится на официальную работу... или скрыть наличие этого дохода (Sozialbetrug до 5 лет).

Если Вы не будете работать, то делайте мужу 3, а себе 5.