Возможно ли переоформить квартиру в России на родственника, не выезжая из Черногории?

Только будет проблема если вы там прописаны.

Можно, идёте к местному нотариусу для составления доверенности на дарение конкретного объекта, затем ставите апостиль ( легализуете документ). Отправляете документ в Россию, если в браке, то необходимо ещё согласие мужа.