Подскажите пожалуйста, если мое свидетельство о рождении было выдано молдавской СССР, мне нужно делать апостиль в Молдове или как то можно в России?

В посольстве нельзя Апостиль ставиться только в стране выдачи документа.

По поводу второго вопроса мнения разнятся. Буквально на днях была целая дискуссия. МИД советуют делать в консульстве в БА документы. В зависимости от вашей ситуации. Но также есть истории, что люди спокойно уезжали в РФ и делали гражданство и паспорт ребёнку уже в России. Основная «загвоздка»: если оба родителя граждане РФ, то ребёнок автоматически получает гражданство РФ. А по закону РФ: ее граждане должны пересекать границу только по российскому загранпаспорту. Но пока у вас не оформлено гражданство РФ - многие спокойно проезжали