Я киприот, получил Российское гражданство и Российский паспорт, живу в России. С каким паспортом можно лететь на Кипр?

С кипрским, конечно. В российский виза нужна.

Если вы по закону уведомили Россию о втором гражданстве, Вы можете оба показывать просто.