Подскажите, если снимаешь квартиру в Грузии у физического лица, то оформляют договор аренды или найма?

Аренды конечно. Вы же не нанимаете квартиру.

Вообще с юридической точки зрения правильно: жилая недвижимость - подписывается договор найма, коммерческая - договор аренды. Но мало кто следует этому правилу, так как договоры нигде не регистрируются.