Как оформляется карта каспи? Нужно ехать в банк?

Да.

Нужно.

Если вы гражданин РФ, то нужен: ИИН, ЗП с отметкой о прибытии или, если въезжали по паспорту РФ, уведомление прибытии в РК + ЗП, СНИЛС или ИНН. И личное присутствие в отделении банка.