Скажите , обязательно ли нужен договор, если на месяц снимать жилье в бишкеке?

Нет просто проверить нужно что он собственник.

Оформляйте все по договору, день, неделя, месяц, год. Наличие правоустанавливающих документов. Могут Мошенники суточную квартиру пересдать. Не надо доверять не знакомым людям.