заявление на выдачу нового паспорта, в консульстве, через сколько времени после подачи документов начинает отслеживаться на сайте? Две-три недели? Месяц?

На этот вопрос сложно ответить. Но когда на сайте Готовность 80% - паспорт готов и летит из РФ. Это может растянуться на 2 месяца.

В принципе не отслеживается нормально, даже если готов будет показывать 70%, рассчитывайте на 3 месяца.