Сделать шенген а Сербии на год или более можно?

Зависит от того, есть ли у Вас мультивиза. Шенген ещё в 21-22 годах сменил правила и по ним, в первый раз мультивизу получить нельзя. Должно быть 2 раза по сроку пребывания, как минимум. Почитайте на их сайте.

Через полгода после получения ВНЖ можете попробовать подасться на шенген. Дадут ли на год - неизвестно, но маловероятно.

Даже на год маловероятно при идеальных условиях (от которых мир сейчас очень далёк). Если и давали - то не далее срока боравка, который выдают на год, типа словенцы - край боравка минус три месяца. Или типа того.