Подскажите, пожалуйста, при заполнении заявления на новый загранпаспорт лучше использовать форму на сайте или приложение на телефоне?

Да вы его от руки в теории можете заполнить. И попытаться заставить консульство перепечатывать это все. Им ШК нужен, чтоб подтянулись данные.