Посоветуйте пожалуйста хороший и не очень дорогой комплекс с бассейнами и саунами / хамамами в Бишкеке или недалеко за его пределами.

Вот не знаю, что значит для вас недорогой, но в Жаннат резорт очень хорошо. Ехать туда минут 30-40. Правда для жителей КР он все-таки дороговат, но у них бывают акции. А так большинство ходят в заведения в городе, задайте поиск хамам/сауна, вам целый список выдадут. Кристалис был неплохой пару лет назад. Идти желательно в будние дни с утра, когда людей меньше всего.