От Нового Аэропорта Стамбула до аэропорта Сабихи Гекчен ходят автобусы? Где именно они находятся?

Ходят, называются havaist, находятся на -2 этаже. Посмотреть расписание можно на их сайте.

Скорее всего напрямую не ездят. Из аэропорта Сабиха можно попасть в метро М4 не выходя на улицу и доехать до Кадикёя за 9 лир по Истснбулкарт, а оттуда за 75 лир на Хаваисте до аэропорта Истанбул.

Автобусы havaist, маршрут вроде 13. Продолжительность поездки - 1 час. Билет стоит 85 лир, купить можно в будке возле автобусной платформы на -2 этаже аэропорта.