Подскажите, каким способом быстрее всего можно отправить документы в Россию?

Смотря куда. Быстрее с попутчиками.

Сходите на почту Грузии в Батуми и спросите. Она работает со многими государственными почтами разных стран. Как вариант, может, работает с почтой России.