Подскажите пожалуйста, если весь полет в Черногорию полностью обслуживает Air Serbia и стыковка в Белграде, то багаж же не нужно самостоятельно забирать и снова сдавать?

Зависит от того, есть ли транзитная зона в аэропорту Белграда. Вам нужно уточнить у Air Serbia этот вопрос, и если да, то при регистрации багажа проконтролировать, что багаж зарегистрирован до конечной точки назначения, а не до Белграда.

Я летел AirSerbia из Германии в Черногорию с пересадкой в Белграде, на стойке регистрации сказали, что в Белграде получать и сдавать багаж не нужно т. к. его перенаправят автоматически - так и было.

Если при посадке а первый борт Вам дадут 2 посадочных (на оба рейса), не нужно.